Widerstand und Impedanz in einem Wechselstromkreis

Möchten Sie eine Website erstellen? Finden Sie kostenlose WordPress-Designs und Plugins. Die i-v-Beziehungen von Widerständen, Kondensatoren und Induktoren können in Zeigernotation ausgedrückt werden. Als Zeiger nimmt jede iv-Beziehung die Form eines verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes an: V = IZV = IZ, wobei die Zeigergröße Z als Impedanz bekannt ist. Für einen Widerstand, eine Induktivität und einen Kondensator sind die Impedanzen jeweils: ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Kombinationen aus Widerständen, Induktivitäten und Kapazität können durch eine einzige äquivalente Impedanz dargestellt werden der Form: Z(jω)=R(jω)+jX(jω)Einheiten von Ω (Ohm)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)Einheiten von Ω (Ohm) Wobei R (jω) und X (jω) sind als „Widerstands“- bzw. „Reaktanz“-Anteile der äquivalenten Impedanz Z bekannt. Beide Terme sind im Allgemeinen Funktionen der Frequenz ω. Die Admittanz ist als Kehrwert der Impedanz definiert. Y=1ZEinheiten von S (Siemens)Y=1ZEinheiten von S (Siemens) Folglich können alle in Kapitel 3 eingeführten Beziehungen und Techniken für Gleichstromkreise auf Wechselstromkreise erweitert werden. Daher ist es nicht notwendig, neue Techniken und Formeln zu lernen, um Wechselstromkreise zu lösen; Es ist nur notwendig zu lernen, dieselben Techniken und Formeln mit Phasoren zu verwenden. Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz Das Impedanzkonzept spiegelt die Tatsache wider, dass Kondensatoren und Induktivitäten als frequenzabhängige Widerstände wirken. Abbildung 1 zeigt einen generischen Wechselstromkreis mit einer sinusförmigen Spannungsquelle VS als Zeiger und einer Impedanzlast Z, die ebenfalls ein Zeiger ist und die Wirkung eines generischen Netzwerks aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten darstellt. Abbildung 1 Das Impedanzkonzept Der resultierende Strom I ist ein Zeiger, der bestimmt wird durch: V=IZVerallgemeinertes Ohmsches Gesetz (1)V=IZVerallgemeinertes Ohmsches Gesetz (1) Ein spezifischer Ausdruck für die Impedanz Z wird für jedes spezifische Netzwerk aus Widerständen, Kondensatoren und gefunden an die Quelle angeschlossene Induktoren. Um Z zu bestimmen, ist es zunächst notwendig, die Impedanz von Widerständen, Kondensatoren und Induktoren zu bestimmen mit: Z=VIDefinition von Impedanz(2)Z=VDefinition von Impedanz(2) Einmal die Impedanz jedes Widerstands, Kondensators und Induktors in einem Netzwerk Wie bekannt, können sie in Reihe und parallel (unter Verwendung der üblichen Regeln für Widerstände) kombiniert werden, um eine äquivalente Impedanz zu bilden, die von der Quelle „gesehen“ wird. Impedanz eines Widerstands Die iv-Beziehung für einen Widerstand ist natürlich das Ohmsche Gesetz, das im Fall von sinusförmigen Quellen wie folgt geschrieben wird (siehe Abbildung 2): Abbildung 2 Für einen Widerstand gilt VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) oder in Zeigerform VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR wobei VR=VRejθtVR=VRejθt und IR=IRejθtIR=IRejθt sind Zeiger. Beide Seiten der obigen Gleichung lassen sich durch ejωt dividieren zu: VR=IRR(4)VR=IRR(4) Die Impedanz eines Widerstandes ergibt sich dann aus der Definition der Impedanz: ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Also: ZR = R Impedanz eines Widerstands Die Impedanz eines Widerstands ist eine reelle Zahl; Das heißt, es hat eine Größe R und eine Nullphase, wie in Abbildung 2 gezeigt. Die Phase der Impedanz ist gleich der Phasendifferenz zwischen der Spannung an einem Element und dem Strom durch dasselbe Element. Im Fall eines Widerstands ist die Spannung vollständig in Phase mit dem Strom, was bedeutet, dass es keine Zeitverzögerung oder Zeitverschiebung zwischen dem Spannungsverlauf und dem Stromverlauf im Zeitbereich gibt. Abbildung 2 Zeigerdiagramm der Impedanz eines Widerstands. Denken Sie daran, dass Z = V/L. Es ist wichtig, daran zu denken, dass die Zeigerspannungen und -ströme in Wechselstromkreisen Funktionen der Frequenz sind, V = V (jω) und I = I (jω). Diese Tatsache ist entscheidend für die Bestimmung der Impedanz von Kondensatoren und Induktivitäten, wie unten gezeigt. Impedanz einer Induktivität Die iv-Beziehung für eine Induktivität ist (siehe Abbildung 3): Abbildung 3 Für eine Induktivität vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6) Dabei Punkt, es ist wichtig, sorgfältig vorzugehen. Der Zeitbereichsausdruck für den Strom durch den Induktor ist: iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) So dass ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Beachten Sie, dass der Nettoeffekt der Zeitableitung darin besteht, ein zusätzliches ( j zu erzeugen ω) zusammen mit dem komplexen Exponentialausdruck von iL(t). Das heißt: Zeitbereich Frequenzbereich d/dtd/dt jωjω Daher ist das Zeigeräquivalent der iv-Beziehung für einen Induktor: VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) Die Impedanz von aus der Definition der Impedanz wird dann eine Induktivität bestimmt: ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Also: ZL=jωL=ωL∠π2 Impedanz einer Induktivität (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impedanz einer Induktivität (10) Die Impedanz einer Induktivität ist eine positive, rein imaginäre Zahl; Das heißt, es hat eine Größe von ωL und eine Phase von π/2 Radiant oder 90◦, wie in Abbildung 4 gezeigt. Wie zuvor ist die Phase der Impedanz gleich der Phasendifferenz zwischen der Spannung an einem Element und dem Strom durch dasselbe Element. Im Fall eines Induktors eilt die Spannung dem Strom um π/2 Radian voraus, was bedeutet, dass ein Merkmal (z. B. ein Nulldurchgangspunkt) der Spannungswellenform T/4 Sekunden früher auftritt als das gleiche Merkmal der Stromwellenform. T ist die gemeinsame Periode. Beachten Sie, dass sich die Induktivität wie ein komplexer frequenzabhängiger Widerstand verhält und dass ihre Größe ωL proportional zur Winkelfrequenz ω ist. Somit „behindert“ ein Induktor den Stromfluss proportional zur Frequenz des Quellensignals. Bei niedrigen Frequenzen wirkt eine Induktivität wie ein Kurzschluss; bei hohen Frequenzen wirkt es wie ein Leerlauf. Abbildung 4 Zeigerdiagramm der Impedanz einer Induktivität. Denken Sie daran, dass Z = V/L Impedanz eines Kondensators Das Prinzip der Dualität legt nahe, dass das Verfahren zum Ableiten der Impedanz eines Kondensators ein Spiegelbild des oben gezeigten Verfahrens für einen Induktor sein sollte. Die iv-Beziehung für einen Kondensator ist (siehe Abbildung 5): Abbildung 5 Für einen Kondensator iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) Der Zeitbereichsausdruck für die Spannung über dem Kondensator ist: vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) So dass ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωcos⁡(ωt+ θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Beachten Sie, dass der Nettoeffekt der Zeitableitung darin besteht, zusammen mit dem einen zusätzlichen ( j ω)-Term zu erzeugen komplexer exponentieller Ausdruck von vC(t). Daher ist das Phasenäquivalent der iv-Beziehung für einen Kondensator: IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) Die Impedanz einer Induktivität wird dann aus der Definition der Impedanz bestimmt: ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Also: ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15) Die Impedanz eines Kondensators ist eine negative, rein imaginäre Zahl; das heißt, es hat eine Größe von 1/ωC ​​und eine Phase von –π/2 Radiant oder –90o, wie in Abbildung 6 gezeigt. Wie zuvor ist die Phase der Impedanz gleich der Phasendifferenz zwischen der Spannung an einem Element und dem Strom durch dasselbe Element. Im Fall eines Kondensators eilt die Spannung dem Strom um π/2 Radian nach, was bedeutet, dass ein Merkmal (z. B. ein Nulldurchgangspunkt) der Spannungswellenform T/4 Sekunden später auftritt als das gleiche Merkmal der Stromwellenform . T ist die gemeinsame Periode jeder Wellenform. Abbildung 6 Zeigerdiagramm der Impedanz eines Kondensators. Denken Sie daran, dass Z = V/L. Beachten Sie, dass sich der Kondensator auch wie ein komplexer frequenzabhängiger Widerstand verhält, außer dass seine Größe 1/ωC ​​umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz ω ist. Somit „behindert“ ein Kondensator den Stromfluss umgekehrt proportional zur Frequenz der Quelle. Bei niedrigen Frequenzen wirkt ein Kondensator wie ein offener Stromkreis; bei hohen Frequenzen wirkt es wie ein Kurzschluss. Verallgemeinerte Impedanz Das Impedanzkonzept ist sehr nützlich bei der Lösung von Problemen bei der Analyse von Wechselstromkreisen. Es ermöglicht die Anwendung von Netzwerktheoremen, die für Gleichstromkreise entwickelt wurden, auf Wechselstromkreise. Der einzige Unterschied besteht darin, dass komplexe Arithmetik anstelle von Skalararithmetik verwendet werden muss, um die äquivalente Impedanz zu finden. Abbildung 7 zeigt ZR(jω), ZL(jω) und ZC(jω) in der komplexen Ebene. Es ist wichtig zu betonen, dass, obwohl die Impedanz von Widerständen rein real und die Impedanz von Kondensatoren und Induktoren rein imaginär ist, die äquivalente Impedanz, die von einer Quelle in einer beliebigen Schaltung gesehen wird, komplex sein kann. Abbildung 7 Die Impedanz von R, L und C sind in der komplexen Ebene dargestellt. Impedanzen im oberen rechten Quadranten sind induktiv, während die im unteren rechten Quadranten kapazitiv sind. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Hier ist R der Widerstand und X die Reaktanz. Die Einheit von R, X und Z ist Ohm. Zulassung Es wurde vorgeschlagen, dass die Lösung bestimmter Schaltungsanalyseprobleme leichter in Bezug auf die Leitfähigkeit als auf die Widerstände gehandhabt werden könnte. Dies gilt beispielsweise, wenn eine Knotenanalyse verwendet wird, oder in Schaltungen mit vielen parallelen Elementen, da sich parallel geschaltete Leitfähigkeiten wie Widerstände in Reihe addieren. Bei der Analyse von Wechselstromkreisen kann eine analoge Größe definiert werden – der Kehrwert der komplexen Impedanz. So wie die Leitfähigkeit G als Kehrwert des Widerstands definiert wurde, ist die Admittanz Y als Kehrwert der Impedanz definiert: Y=1ZEinheiten von S (Siemens)(17)Y=1ZEinheiten von S (Siemens)(17) Immer wenn die Impedanz Z rein ist reell, die Admittanz Y ist identisch mit dem Leitwert G. Im Allgemeinen ist Y jedoch komplex. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) wobei G die AC-Leitfähigkeit und B die Suszeptanz ist, die analog zur Reaktanz ist. G und B sind eindeutig mit R und X verwandt; Die Beziehung ist jedoch keine einfache Umkehrung. Wenn Z = R + jX , dann ist die Admittanz: Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Z ̄ = R − jX: Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) und schlussfolgere, dass G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Beachte insbesondere, dass G im allgemeinen Fall nicht der Kehrwert von R ist! Hast du eine APK für Android gefunden?

Hinterlass eine Nachricht 

Nachrichtenliste